Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.

Tính chất 1

Giả sử hàm số y= f(x) xác định trên K. Ta nói :

• Hàm số y= f(x) đồng biến ( tăng ) trên K nếu với mọi cặp x 1 {\displaystyle x_{1}} , x 2 {\displaystyle x_{2}} thuộc K mà x 1 {\displaystyle x_{1}} nhỏ hơn x 2 {\displaystyle x_{2}} thì f ( x 1 ) {\displaystyle f(x_{1})} nhỏ hơn f ( x 2 ) {\displaystyle f(x_{2})} , tức là : x 1 < x 2 → f ( x 1 ) < f ( x 2 ) {\displaystyle x_{1}<x_{2}\rightarrow f(x_{1})<f(x_{2})}
• Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x 1 {\displaystyle x_{1}} , x 2 {\displaystyle x_{2}} thuộc K mà x 1 {\displaystyle x_{1}} nhỏ hơn x 2 {\displaystyle x_{2}} thì f ( x 1 ) {\displaystyle f(x_{1})} lớn hơn f ( x 2 ) {\displaystyle f(x_{2})} , tức là: x 1 < x 2 → f ( x 1 ) > f ( x 2 ) {\displaystyle x_{1}<x_{2}\rightarrow f(x_{1})>f(x_{2})}

Tính chất 2

Cho hàm số y=f(x) xác định và có đạo hàm trên K.

• Nếu f ′ ( x ) > 0 , ∀ x ∈ K {\displaystyle f'(x)>0,\forall x\in K} thì hàm số y=f(x) đồng biến trên K
• Nếu f ′ ( x ) < 0 , ∀ x ∈ K {\displaystyle f'(x)<0,\forall x\in K} thì hàm số y=f(x) nghịch biến trên K

Mở rộng tính chất

Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm trên K.

Nếu f ′ ( x ) ≥ 0 , ∀ x ∈ K {\displaystyle f'(x)\geq 0,\forall x\in K} và f'(x)=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K

Nếu f ′ ( x ) ≤ 0 , ∀ x ∈ K {\displaystyle f'(x)\leq 0,\forall x\in K} và f'(x)=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên K